КОШКИ, МЫШКИ И ВСЕ ПЕСЧИНКИ ВСЕЛЕННОЙ

"В одном городе у великой реки люди очень любили кошек. В семи домах этого города держали по семь стройных изящных гладкошерстных кошек в каждом. Эти кошки были превосходными охотницами и очень любили ловить мышей. Однажды каждая из них поймала и съела по семь толстых мышек. Каждая из мышек до этого успела уже съесть по семь колосков, каждый из которых, не будь он съеден мышкой, дал бы по семь мер зерна земледельцу. Хотелось бы знать, сколько всего было в семи домах города у великой реки стройных кошек, сколько они вместе съели толстых мышей, сколько всего колосков успели съесть пойманные кошками мышки и сколько мер зерна не досчитались в урожае земледельцы благодаря зловредному аппетиту съеденных грызунов? "

Это задачка из очень старого учебника математики, составленного когда-то в Древнем Египте и сохранившегося до наших дней на одном из папирусов. В XVIII веке до н. э. этот папирус был переписан с какого-то еще более древнего папируса, оригинал которого не сохранился.

Кроме самой задачки, в папирусе есть и совершенно правильное ее решение, которое вполне по силам любому современному школьнику, знакомому с умножением, так что, кто хочет, может убедиться в этом сам. Заметим только, что автор, живший на берегах Нила около четырех тысячелетий тому назад, придумал эту задачку не просто так. Ее решение образует строгую геометрическую прогрессию со знаменателем равным 7. В стране неучей, где не знают математических законов, не овладели навыками арифметики, такой задачи просто не может быть. Из этого легко сделать почти математический по точности вывод: Египет страной неучей не был, и математику там знали совсем неплохо. Да я странно было бы в том усомниться, увидев египетские пирамиды совершенно правильной формы, с четко выверенными сторонами и углами, где каждый камень лежит на своем месте и все доведено почти до совершенства. Наверняка построению таких грандиозных сооружений предшествовали строгие математические расчеты, а значит, в Древнем Египте уже знали не только арифметику, но и геометрию. Это действительно так. В том же папирусе, где записана задача о кошках и мышках, есть и другие задачи, и многие из них геометрические. Не случайно известнейшие греческие авторы древнего мира — "отец истории" Геродот и другой историк и географ Страбон называют египтян "отцами геометрии". Древние египтяне уже в те далекие времена умели рассчитывать площади различных геометрических фигур, в том числе и круга.
"Подумаешь! - скажет какой-нибудь пятиклассник. — Я тоже умею рассчитывать площадь круга, это делается по формуле S =r2, где S - искомая площадь, r - радиус круга, то есть половина его диаметра, а - это число, равное примерно 3,14".

В том-то и загвоздка, что египтяне значения числа (пи) не знали, а площадь круга рассчитывать умели. Хотя и приблизительно, но с очень малой погрешностью. Для этого они вычисляли площадь квадрата со стороной, равной 8/9 диаметра круга, площадь которого хотели определить. Площадь такого квадрата действительно близка к площади искомого круга, и ошибка при вычислениях очень невелика. Она такова, как если бы во всем теперь известной формуле, по которой вычисляют площадь круга, вместо значения числа подставили бы не 3,14, а 3,16.

Умели египтяне без числа вычислять площади и объемы гораздо более сложных фигур, чем круг, таких как усеченная пирамида или полушарие. Находчивые были в стране фараонов математики, а все началось с того, что египтяне научились считать.

То есть, если быть точным, как это подобает в математике, считать люди научились еще раньше, чем научились писать. Они еще в первобытном обществе владели азами арифметики лучше братьев своих меньших. Но если ты хорошо умеешь считать по пальцам до десяти или даже до двадцати в уме - это еще не значит, что ты сможешь правильно разделить десять мер ячменя между десятью людьми так, чтобы разница между каждым человеком и его соседом составляла 1/8 меры. А это еще одна задачка из того же "математического" папируса.

До составления этого древнего учебника математика в Древнем Египте прошла долгий путь развития, обогатилась многими достижениями знаний и изобретениями. И прежде всего для того, чтобы вести правильные сложные вычисления, людям надо было выдумать цифры - знаки, с помощью которых можно записать число.

Свои цифры египтяне, видимо, придумали в те же времена, что и иероглифы письменности - в середине или начале четвертого тысячелетия до н. э. Цифры эти были просты, но зато и всем понятны. Обычные маленькие вертикальные черточки применялись для записи чисел от 1 до 9, одна черточка — это единица, две черточки соответствовали двойке, три - тройке и т. д., а вот число десять уже изображали другим знаком, напоминающим скобу или подкову. У египтян он, видимо, символизировал путы для скота. Сотню египтяне изображали знаком, напоминающим закрученную веревку, стебель лотоса обозначал тысячу, поднятый вверх человеческий палец - десять тысяч. Сто тысяч египетские математики изображали, рисуя головастика, наверное, потому, что их очень много родится из икры одной лягушки. Фигура сидящего божества с поднятыми руками обозначала миллион — так много, что только богу под силу охватить это число разумом.

Десять черточек-единиц можно было заменить одним знаком десятки, десять десятков - знаком сотни, десять сотен — знаком тысячи и так далее. Это значит, что у египтян была десятичная система счисления, которой пользуются люди и по сей день.

С помощью последовательности из таких цифр египтяне могли записать любое число. Писали они горизонтально справа налево изображая сначала знаки более крупного значения, а потом более мелкие. В общем, так же как и мы, в том же порядке, только начиная запись с другой стороны.

В современных математических записях числа любая цифра в зависимости от ее положения в записи может принимать значения разного порядка. Так, 1 - это просто единица, а если за ней стоит еще какая-то цифра, то та же единица набирает вес и становится уже десятком. Може.т эта цифра означать и сотню, и тысячу, в зависимости от того места (позиции), которое занимает в записи числа. Такая система счисления называется "позиционной".

У египтян же вертикальная палочка всегда оставалась единицей, а "подкова" - десяткой. Поэтому в записи больших чисел египетским математикам приходилось повторять тот или иной знак столько раз, сколько было единиц, десяток, сотен, пока их нельзя было заменить следующей объединяющей цифрой. Например, в числе триста сорок два (342) египтянин написал бы справа налево три знака "скрученной веревки" - три сотни, потом четыре знака "подковы" - четыре десятки и две вертикальные черточки. Записи больших чисел у египтян получались очень громоздкими, а изобретенную ими систему счисления называют "непозиционной". И все-таки египтяне умудрялись правильно складывать, вычитать, делить и умножать, невзирая на трудности оперирования такими цифрами. А это было действительно нелегко. Особенно трудно давались умножение и деление.

Знали они уже и дроби, но у большинства дробей египетских математиков в числителе стояла единица - 1/2, 1/3, 1/4, 1/54 и т.п. Некоторые, особенно часто употребляемые в расчетах египтян дроби имели свои собственные особые знаки: 1/2 обозначалась стилизованным изображением ребра, может быть, потому, что напротив каждого ребра с другой стороны тела есть такое же, 1/4 обозначалась косым крестом - это понятно, ведь крест делит плоскость на четыре части, особые знаки были также у 2/3 и 3/4.

Для определения мер сыпучих веществ, например зерна, существовали у египтян особые дроби. Мера зерна называлась "хеката" (4,785 л), и делилась она в соответствии с мифом египтян о борьбе злого бога Сета с богом Гором. Сет разорвал на части глаз Гора, но мудрый бог Тот восстановил его. Изображения разных кусочков разорванного глаза Гора служили египтянам для обозначения разных частей хекаты - 1/2, 1/4, 1/8, 1/l6, 1/32 и 1/64. Это были уже настоящие дробные иероглифы.

Длину египтяне измеряли в "локтях" (52,3 см), "ладонях" (7 ладоней = 1 локоть) и "пальцах" (4 пальца = 1 ладонь). Мера площади называлась "сечат" и составляла 100 квадратных локтей. Мера веса "дебен" была равна приблизительно 91 кг.

Математика египтян развивалась по мере надобности вместе с цивилизацией. Египетские жрецы не занимались математическими исследованиями в целях развития самой науки, их мысль всегда работала в направлении решения той или иной конкретной практической задачи из повседневной жизни. Сборщику налогов или писцу необходимо произвести правильный учет зерна или скота, жрец-инженер должен рассчитать, сколько понадобится каменных блоков для строительства пирамиды или параметры системы оросительных каналов, приносящих воду могучего Нила к засушливым землям. Или надо узнать, сколько работников потребуется для строительства дворца или пирамид и сколько дней в году будет работать каждый из них, так чтобы у него осталось еще время для работы в собственном хозяйстве, и прочее, прочее. В соответствии с такой направленностью на практическое решение жизненных задач составлялись и математические учебники-папирусы древних египтян.

МАТЕМАТИКА, ЗАПИСАННАЯ "КЛИНЫШКАМИ"

Математические исследования древних щумеров, ассирийцев и вавилонян носили более отвлеченный научный характер, хотя и решение практических задач являлось насущной потребностью первых математиков Междуречья. Шумеры изобрели свою систему счисления — шестидесятиричную. Если в основе системы египтян лежали числа, кратные десяткам, то в этой системе кратность разрядов чисел была равна шестидесяти.

Шумеры писали на глине, поэтому знаки их письма, начинавшиеся, как и у египтян, с пиктографических картинок, напоминавших иероглифы, упростились в итоге до набора клинообразных углублений, оставляемых острым концом заостренной палочки в сырой глине. Поэтому и цифры шумеров, а позже вавилонян и ассирийцев имели вид не вертикальных черточек или более сложных фигур а именно клинышков. При вертикальном положении треугольного клинышка, направленного удлиненной вершиной вниз, знак обозначал единицу, при горизонтальном направлении - десятку. Числа шумеры, в отличие от египтян, записывали слева направо, начиная с более крупных разрядов. Так что число сорок два шумеры записали бы как четыре горизонтальных клинышка и два вертикальных. Но число 60 и другие степени этого числа (например, 60 = 3600 или 60 = 216 000) шумеры изображали вертикальным клинышком. В итоге запись числа представляла комбинацию десятичной системы, в которой значение цифры не зависит от ее положения в знаке числа (непозиционная система), и системы с основанием 60, в которой значение цифры зависит от позиции (позиционная система). Например, число 92 шумеры изобразили бы так: начиная слева направо, один вертикальный клинышек - 60, потом три горизонтальных — три десятка, и еще два вертикальных - две единицы. С помощью цифр, которыми мы теперь пользуемся, это можно было бы представить следущим уравнением: 60+10+10+10+1+1 = 92. Но главное достижение и в то же время несовершенство шестидесятиричной системы счисления шумеров заключалось в том, что той же комбинацией клинышков они записали бы и число 3632 (3600+10+10+10+1+1 = 3632). С одной стороны, при введении шестидесятиричного разряда числа шумеров выглядели не столь громоздко по сравнению с египетскими, с другой, в каждом случае шумерским математикам требовались дополнительные письменные пояснения, чтобы понять, о каком все-таки значении числа идет речь.

Все же, несмотря на значительные неудобства такой системы счисления, используя изобретение шумеров, вавилоняне и ассирийцы достигли значительных успехов в математике. С помощью этой системы ими было сделано множество астрономических вычислений, в частности, вавилоняне и ассирийцы умели рассчитывать солнечные и лунные затмения.

По сравнению с египетской шумерская система счисления сделала значительный шаг вперед, приблизившись к современной позиционной системе счисления. А позднее вавилонские математики приблизились и к открытию понятия нуля, введя в систему, особый знак - два расположенных один над другим горизонтальных клинышка. Он заменял пропущенные шестидесятичные разряды, и запись чисел уже не требовала таких пояснений, как прежде.

Египтяне приблизились к "нулю", но так его и не открыли - никогда этот знак не ставился египетскими математиками в конце записи.

Следы шестидесятиричной системы счисления цивилизаций Междуречья дошли и до нас, ведь в часе сейчас 60 минут, в минуте 60 секунд, а окружность делится на 360 градусов.

ВЕЛИЧЕСТВЕННЫЕ ЗНАКОМЫЕ

У целого ряда народов древнего мира - древних греков, финикийцев, евреев, сирийцев — цифрами служили буквы их алфавита. Наиболее известная из таких буквенных систем счисления дожила до наших дней, а родилась она в Древнем Риме.

Римляне для записи чисел имели всего семь буквенных знаков с основанием, кратным пяти: I - единица, V - пять, X - десять, L — пятьдесят, С - сто, D - пятьсот, М - тысяча. Все остальные числа образовывались сочетаниями этих цифр при помощи сложения и вычитания. Так, III - запись числа три (1+1+1); VI - запись числа шесть (V+I); IX - запись числа девять (X-I). Число 467 будет записано в римской системе как CDLXVII то есть (D-C) + (L+X) + (V+I+I). Римские цифры были единственными, которыми дозволялось пользоваться в России до XVIII века. Позже их значительно потеснила самая широко распространенная теперь десятичная позиционная система счисления, основы которой были заложены уже в средневековой Индии.

Вернуться в раздел: Энциклопедия по Истории

Обсудить эту статью на нашем форуме >>>

§ ИСТОРИЧЕСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ВАЖНЕЙШИХ СОБЫТИЙ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА

Ключевые слова этой страницы: историческая, энциклопедия, важнейших, событий, человечества.

Скачать zip-архив: Историческая Энциклопедия важнейших событий человечества - zip. Скачать mp3: Историческая Энциклопедия важнейших событий человечества - mp3.